케플러의 행성 운동 법칙

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두 행성의 공전궤도를 통한 케플러의 세가지 법칙들에 대한 설명. (1) 첫 번째 행성의 공전궤도는 f1과 f2를 초점으로 갖는 타원궤도이고, 두 번째 행성의 공전궤도는 f1과 f3을 초점으로 갖는 타원궤도이다. 태양은 여기서 초점 f1에 있다. (2) 행성이 같은 시간 동안 휩쓸고 지나가는 음영으로 표시된 두 영역 A1과 A2는 같은 면적을 가지고 있다. (3) 두 행성의 공전주기의 비는 $a1^{3/2}:a2^{3/2}$ 이다.

케플러의 행성 운동 법칙(Kepler-行星運動法則, Kepler's laws of planetary motion)은 독일의 천문학자 요하네스 케플러가 발표한 행성의 운동에 대한 세 개의 물리학 법칙이다.

아이작 뉴턴이 만유인력의 법칙을 발견하기 약 반세기 전, 케플러는 그의 스승 티코 브라헤가 평생 동안 천체를 관측하면서 축적한 자료들을 분석하여 유명한 케플러의 행성운동법칙을 발표하였다.

행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원궤도를 그리면서 공전한다.
행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.
행성의 공전주기의 제곱은 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다.^[1]

아이작 뉴턴은 자신이 발견한 운동 법칙과 케플러 법칙 등을 기반으로 만유인력의 법칙을 유도해냈다. 즉, 케플러가 기술한 태양계의 행성의 운동은 뉴턴의 법칙에 따르는 두개의 질점간의 상호작용에 해당한다는 것을 밝혀낸 것이다.

따라서 케플러의 행성 운동 법칙은 태양과 행성 사이에만 성립하는 것이 아니라, 행성과 그 위성(인공위성을 포함하여), 위성과 위성이 갖는 손자위성 사이에도 성립한다.

수학적 설명[편집]

케플러의 제1법칙

행성의 궤도를 태양이 중심에 있는 극좌표계 $(r,\; \theta)$ 를 이용하면 아래와 같이 케플러의 행성운동법칙을 간단하게 수학적으로 기술하고, 뉴턴의 만유인력의 법칙과 같은 여러 물리학 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.

제1법칙 타원궤도의 법칙[편집]

케플러의 제1법칙은 궤도의 법칙이라고도 불린다.

행성의 공전 궤도는 타원 모양이다. 태양은 타원의 두 초점 중 하나에 위치한다.

행성의 타원 방정식은 다음과 같다.

${P \over r} = 1 + \epsilon \cos \theta$

여기서,

$P \equiv {L^2 \over m\alpha}$

$\epsilon \equiv \sqrt{1+\left( {2EL^2 \over m\alpha}\right)}$ , 이심률

$\alpha \equiv GMm$

$L$ : 행성의 각운동량

$M$ : 초점에 위치한 별의 질량

$m$ : 행성의 질량

$E$ : 행성의 역학적 에너지

$G$ : 중력 상수

이다.

제2법칙 면적속도 일정의 법칙[편집]

케플러의 제2법칙

케플러의 제2법칙은 케플러 넓이 법칙(Kepler's law of areas)이라고도 불린다.

행성과 태양을 연결하는 가상적인 선분이 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 항상 같다.

면적속도는 수학적으로 다음과 같이 정의된다.

$\dot{S} = {1 \over 2} r^2 \dot{\theta}$

케플러의 제2법칙은 위 값이 행성 운동의 운동 상수임을 의미한다. 혹은, 행성의 공전 속도를 사용하여

$\mathbf{r} \times \mathbf{v} = \textrm{const}$

가 일정하다고 말하기도 한다. 위 값은 행성의 각운동량에 비례하므로, 이 법칙은 만유인력의 법칙과 관계없이 각운동량 보존 법칙으로부터 유도할 수 있다.

제3법칙 조화의 법칙[편집]

케플러의 제3법칙은 주기의 법칙이라고도 불린다.

행성의 공전 주기의 제곱은 궤도의 긴반지름의 세제곱에 비례한다.

이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$T^2 \propto a^3$

여기서

$T$ : 공전 주기

$a$ : 공전 궤도의 긴반지름

이다. 좀 더 비례 관계를 명확히 하면,

$T^2 = {4\pi^2 \over G (M+m)} a^3$

이다. 여기서

$G$ : 중력 상수

$M$ : 초점에 위치한 별의 질량

$m$ : 행성의 질량

이다. 태양계에서 행성은 태양에 비해 훨씬 더 가벼우므로 ( $M>>m$ ), 다음과 같이 근사할 수 있다.

$T^2 \simeq {4\pi^2 \over G M} a^3$

따라서, 태양을 중심으로 하는 태양계 안의 모든 행성에 대해선 $T^2 a^{-3}$ 의 값이 모두 같다.

주석[편집]

이동↑ 한국교원대학교 과학교육연구소, 교육인적자원부(2006), 『고등학교 고급물리』, 서울 : 지학사, 71쪽.

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2013년 11월 4일 월요일

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